Kisszótár
Címszavak véletlenül
|
Differenciál-egyenletAz oly egyenlet, mely egy vagy több differenciál-hányadost tartalmaz, de azonfelül a differenciált függvény vagy függvények és független változók is előfordulhatnak benne. Egy változós függvények esetében a differenciál-hányadosok totálisak s azért a D. is totál D.-nek neveztetik; több független változó esetében a D. parciál D.-nek neveztetik, mert a benne előforduló differenciál-hányadosok is parciálisak. Több D. együtt D.-rendszert alkot. Ha valamely z függvény differenciál-hányadosai közül az n-ed rendüek a legmagasabbak, melyek a D.-ben előfordulnak, akkor a D. z-re vonatkozólag n-ed rendünek mondatik. A D.-ek elméletének feladata a D.-eket és D.-rendszereket integrálni v. megoldani, azaz meghatározni azokat a függvényeket, amelyek valamely adott D.-et vagy D.-rendszert kielégítenek. E függvények megoldások-nak neveztetnek. Elsőrendü totál D.-nek egyik megoldása z = - x2/2, továbbá kielégíti minden z = a x + a2/2, alaku függvény, ahol a bármelyik állandó számértéket jelentheti. A D.-ek elmélete a geometria és elméleti fizika oly fontos segédeszköze, hogy már csak emiatt is az infinitezimálszámítás feltalálása óta számosan foglalkoztak vele. Euler már rendkivül sok D.-et tudott integrálni, köztük másodr. parciál D.-eket is. Lagrange egyebek közt kifejtette a két független változót tartalmazó elsőrendü parciál D.-ek integrálásának elméletét és Cauchy, Pfaff, Jacobi ugyanezt a problémát tetszőleges számu független változó esetében oldották meg, Mayer Adolf és Lie pedig ezt az elméletet tovább aligha egyszerüsíthető alakra hozták. A másodrendü parciál D.-ek elmélete ez ideig leginkább a két független változó esetére szorítkozik. E téren Laplace az ismeretlen függvényben és annak differenciál-hányadosaiban első foku egyenletek között számtalan oly osztályt állapított meg, melyeknél az integrálást el tudta végezni; osztályai azonban korántsem merítik ki az összes lehető eseteket. Osztályainak felsorolása oly elvet rejt magában, mely tetszőleges alaku (két független változót tartalmazó) másordendü parciál D.-ekre is átvihető. De ez csak Darboux-nak sikerült és csak hazánkfia, König Gyula, nyujtott ezen osztályok integrálására részletesen kifejtett módszert. A másodrendü és két független változót tartalmazó par. D.-ek elmélete c. pályamunkájában, melyet a m. tud. akadémia 1884-ben a Bézsán-dijjal tüntetett ki. Addig csak a legegyszerübb osztály integrálására volt módszer, még pedig Monge és Amperetől. A felsorolt vizsgálatok mind arra törekedtek, hogy a bonyolódottabb egyenleteket egyszerübbekre vezessék vissza s főleg a parc. D.-eket totál D.-ekre. Itt tehát tulajdonképen csak a problémák transzformálásáról van szó. De már az a kérdés, hogy vajjon van-e minden D.-nek megoldása, arra vezetett, hogy az egyes különös kezdeti körülményeknek megfelelő megoldásoknak végtelen műveletsorozatokkal (p. sorokkal) való előállításával is kellett foglalkozni. Az említett kérdést Cauchy tette először vizsgálatainak tárgyává, utána Briot és Bouquet, Kowalevsky Zsófia, Lipschitz, Königsberger és mások foglalkoztak annak megoldásával. Ugyancsak egyes különös megoldásoknak megközelítő előállítására vezettek az elméleti fizika problémái s a Riemann-féle függvénytan alapkérdései. A D.-ek megoldásainak legujabb, különösen mélyre ható függvénytani vizsgálatának Fuchs a megindítója. Mellette e téren Poincaré neve a legtekintélyesebb. Hazai matematikusaink közül szintén sokan foglalkoztak a D.-ek elméletével. Königen kivül Kondor Gusztáv, Vályi Gyula s több más a régibb transzformáló irányban irt, az ujabb függvénytani irányt egyedül Schlesinger Lajos képviseli. Fizikai D.-ek integrálásával Fröhlich Izidor foglalkozik. Forrás: Pallas Nagylexikon Maradjon online a Kislexikonnal Mobilon és Tableten is |
|