Geometria

(gör.) a. m. mértan, a matematika azon része, mely a térbeli alakzatokkal foglalkozik. Görög neve ugyan betüszerint földmérést jelent, de ennek elméletével már Plato idejében nem a G. foglalkozott. A földmérés elméletét ma a geodézia tárgyalja. A G.-nak számos ága van, melyek egymástól tárgyukban, szempontjaikban, módszerükben, segédfogalmaikban stb. különböznek.

Didaktikai szempontból néha megkülönböztetnek elemi és felsőbb G.-t. A két diszciplina határa persze merőben önkényesen történik s nem mindig ugyanazon módon. Rendszerint az elemi G. a pont, egyenes vonal és sikra, a három-, négy- és sokszögekre, a poliéderekre, a körre, a körhengerre, körkupra és gömbre szorítkozik s minden más alakzatot a felsőbb G.-ra biz. A szerint, amint a vizsgált alakzatok egy sikban vannak vagy sem, megkülönböztetnek sikmértant (planimetria) és térmértant (stereometria). E felosztás is önkényes, mert amint aplanimetria a sikra szorítkozik, éppugy lehet akármilyen más felületen levő idomokat kiválasztani, miáltal a G. a gömbön, a G. hiperboloidon stb. keletkeznek. Ezek közül különösen a gömbmértan (szferika) fejlődött ki önálló tudományággá. Továbbá lehet egy vonalon levő pontcsoportokra is szorítkozni, vagy egy sugársorra, egy sikpontra (l. Alapalakzat) stb. vonatkozó vizsgálatokat végezni s e vizsgálatokat a G. megannyi önálló részeinek tekinteni.

Ujabban megkülönböztetnek projektiv és metrikus G.-t. Az első az alakzatok projektiv tulajdonságaival (l. Dualitás) foglalkozik, az utóbbi a metrikus tulajdonságokkal, vagyis azokkal, melyekre nézve csak egymással kongruens (egybevágó), vagy legfeljebb egymással szimmetrikus, egymáshoz hasonló és szimmetrikusokhoz hasonló alakzatok egyezhetnek meg. Rokon e felosztással az Eukleides-féle G. (l. o.) és az abszolut G. (l. o.) megkülönböztetése a szerint, hogy az Eukleides-féle XI. axiomát elfogadjuk vagy sem. Egészen speciális kérdéseik (problémáik) által válnak ki az analysis situs, mely az alakzatok folytonosságára és összefüggésére vonatkozó vizsgálatokkal foglalkozik, s a megszámláló G. Az utóbbi azt határozza meg, hogy bizonyos adott követeléseknek hány alakzat tehet eleget, p. hogy adott négy pont és egy érintő pont által hány (-két) kupszelet van meghatározva.

Módszer tekintetében a legnagyobb ellentét a Descartes által alapított analitikai G. (l. o.) és a Staudt-féle helyzet G. közt van. Az előbbi a pont helyzetének koordináták segítségével való jellemzéséből fejlődött s minden problémát számításokra iparkodik visszavezetni. Ellenben a helyzet G. az algebra és analizis használatát teljesen kizárja. A két módszer között számos átmenet van. Az analitikai G.-hoz legközelebb állanak módszer tekintetében a trigonometria, poligonometria és poliedrometria melyek a háromszögekre, a sokszögekre és a szögletes testekre vonatkozó feladatokat a trigonometriai számok (l. o.) segítségével oldják meg. Rokon módszer továbbá az algebrának a G.-ra való olyatén alkalmazása, hogy a keresett mennyiséget egy algebrai egyenlettel jellemezzük, de egyenlet megoldására szükséges számításokat szerkesztésekkel pótoljuk. Az oly módszereket, amelyek az utóbb említettek ellenében az algebra elkerülésére törekszenek, közös néven szintetikusoknak mondjuk, netovábbjuk a helyzet G. Ily módszereket használ az ábrázoló G. (l. o.) is.

A G.-val rokon tudomány a kinematika vagyis a mekanika azon része, mely a mozgások leirásával foglalkozik a mozgást okozó erők vizsgálata nélkül. Az által, hogy valamely térbeli alakzatot egy más (egyszerübb) alakzat mozgása által képzeljük keletkezettnek, a vizsgálat rendszerint sokkal áttekinthetőbb lesz. Éppen azért e két tudomány, a G. és a kinematika mindinkább egybe olvad. A G. történetét illetőleg l. Matematika.

Forrás: Pallas Nagylexikon