Gömbháromszög

Ha a gömbön három legnagyobb kört huzunk, akkor ezek általában nyolc részre osztják a gömb felületét. Mindegyik ily rész G.-nek neveztetik. A három kör azon ivei melyek a háromszöget bezárják, a G. oldalainak neveztetnek. Mindegyik oldallal szemben egy-egy szögpont v. csúcs van, mely alatt a másik két oldal metszéspontja értendő. Az illető csúcsban találkozó két oldal által képezett gömbi szög a G. egyik szöge lesz. A G. szögeinek összege mindig 180° és 540° közé esik. A szögek (a, b, g) összege és a 180° közti

e = a + b + g - 180°

különbség gömbi fölöslegnek (szferikus excesszus) neveztetik. Ez tehát mindig 0 és 360° közé esik. A G.-ek alkatrészei közötti kapcsolatokkal a gömbháromszögtan (szferikus trigonometria) foglalkozik. Az a, b, c oldalak s a velök szemben levő a, b, g szögek közötti kapcsolatot teljesen jellemzi a következő három képlet:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos a

1. cos b = cos a cos c + sin a sin c cos b

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos g.

Minden más kapcsolat e képletek egyszerü átalakítása által nyerhető. A G.-tan egyéb fontosabb képletei:

cos a = - cos b cos g + sin b sin g cos a

2. cos b = - cos a cos g + sin a sin g cos b

cos g = - cos a cos b + sin a sin b cos c,

melyek az (1.) alattiakkal együtt a cosinus tételnek neveztetnek,

vagyis a sinus tétel, Komplikáltabbak a Gauss- v. helyesebben Delambre-féle analogiák:

cos 1/2 (a + b) cos 1/2 c = cos 1/2 (a + b) sin g

cos 1/2 (a - b) sin 1/2 c = sin 1/2 (a + b) sin g

sin 1/2 (a + b) cos 1/2 c = cos 1/2 (a - b) cos g

sin 1/2 (a - b) sin 1/2 c = sin 1/2 (a - b) cos g.

Ezek páranként egymással elosztva a Neper-féle analogiákat adják. Végre megemlítendő még Lhuiier képlete, mely szerint a gömbi fölösleg és az oldalak között ez az összefüggés áll fenn:

tg² 1/4 e = tg 1/2 s tg 1/2 (s-a) tg 1/2 (s-b) tg 1/2 s-c),

hol          2 s = a + b + c.

A gömbi fölösleg ismerte főleg azért fontos, mert belőle a háromszög területe (t) a képlet szerint adódik, hol r a gömb sugara. L. még Derékszögü háromszög.

Forrás: Pallas Nagylexikon