Három test problemája

három anyagi, egymást a Newton-féle törvény értelmében kölcsönösen vonzó pontból álló mekanikai rendszer (a Nap és két bolygó tömegközéppontja) szabatos mozgási viszonyainak kutatása. Ily foglalatban tisztán matematikai feladat, melynek közelítő, gyakorlati használatra szánt megoldása a háborgatások elméletéhez vezet (l. o.) Teljes matematikai megoldása ezen hires, Newton óta fennálló problémának az analizis mai segédeszközeivel még nem volt lehetséges, sőt mondhatjuk, hogy több mint száz év óta érdemlegesen egy lépéssel sem közeledtünk a megoldás felé. A mekanika ugyanis a H.-t 9 simultan másodrendü differenciális egyenlet alakjában adja fel, melyek teljes integrációja 18 önkényes állandóhoz vezetne, melyek a rendszer pillanatnyi konfigurációját és sebességét adják irány és sebesség szerint. (E 18 állandó legcélszerübben a három bolygó valamely időpillanatban érvényes 9 koordinátája és 9 koordinátasebessége.) Ez egyenletrendszer természetesen egy 18-adrendü egyetlenegy differenciális egyenlet által pótolható. A mekanika általános elvei, melyek természetesen a H. esetében is érvényesek, 10 integrális és ezzel 10 önkényes állandót adnak, ugy hogy a probléma már egy 8-adrendü differenciális egyenlet megoldására van visszavezetve. Ez állandók: a rendszer súlypontjának három koordinátája és állandó koordinátasebessége, a három koordinátasikra vetített radius vector által súrolt területek 3 állandója, végül az eleven erő megmaradását kifejező állandó. Lagrangenak sikerült először 1772. «Essai d"une nouvelle méthode pour resoudre le problEme des trois corps» (Oeuvres VI. p. 229) hires értekezésében a problemát szabaddá tenni azon vonatkoztatásoktól, melyek matematikai alakját bizonyos felvett koordinátarendszerhez kötik, azáltal, hogy csupán a három test között fennálló kölcsönös távolságokat vezette be (Hesse szerint a három test redukált problemája). Ez uton a megoldását sikerült függővé tenni egy harmadrendü és két másodrendü differenciális egyenlettől, mi tényleg egy hetedrendü differenciális egyenletnek felel meg. Habár ez egyenleteket integrálni mai napig nem is lehet, Lagrange eljárása szemben az előbb megoldandó nyolcadrendü differenciális egyenlettel, egy tényleges uj integrále felállításával egyenértékü. Az eddig ismert 10 integrále mind algebraikus; Bruns H. a legujabb időben legalább eme negativ irányban bővítette a H.-t, hogy kimutathassa, hogy több algebraikus vagy Abel-féle integrálékhoz tartozó integrále nem létezik, mig a hiányzók csak transzcedensek lehetnek. V. ö. Dziobek Ottó, Die mathematischen Theorien der Planeten-Bewegungen (Lipcse 1888). A problema historiája és főbb forrásai ott találhatók.

Forrás: Pallas Nagylexikon