Kisszótár


Magyar Magyar Angol Angol
határozott ... definite in...

Magyar Magyar Német Német
Határozott ... ----

Címszavak véletlenül



Címszó:
Tartalom:

Határozott integrál

Legyen f(x1, x2, ... , xn) az x1, x2, ... xn valós változóknak bizonyos összefüggő és véges T tartományában egyértékü és véges függvénye. Bontsuk fel e T tartományt a

                Dt1, Dt2, ..., Dtp  (A)

részlettartományokra (Dt1 egyszersmind az i-dik részlettartomány kiterjedésének mérőszámát is jelentse) oly módon, hogy alkalmas határátmenetnél e részlettartományok mindegyikének átmérője d1 (1 = 1, 2, ... , n) zérus felé közeledjék. A Dt1 átmérője d1 a

[ÁBRA]

kifejezés felső határa, melyben

                y(i) = (y1(i), ..., y2(i) , ...,yn(i))és z(i) = (z1(i), z2(i), ..., zn(1))

a Dt-nek két tetszőleges helyét jelenti). Jelöljük továbbá az f(x1, x2, ... , xn) függvény értékét a Dt részlettartomány tetszőleges

                (x1(i), ..., x2(i) , ...,xn(i))

helyén fi-vel, alsó és felső határát Dt-ben hi , illetőleg Hi -vel. E megállapítások után könnyen kimutatható, hogy

[ÁBRA]

határértékek véges és meghatározott számok és számértékük teljesen független az (A) beosztás speciális elrendezésétől. A h-t és H-t az f függvénynek a T integráció-tartományra vonatkozó defektiv, illetőleg excessziv integráljának nevezzük.

E fogalmak felemlítése után áttérhetünk az f függvény T integráció-tartományra vonatkozó n-dimenziós integráljának fogalomalkotására.

Ha az

[ÁBRA]

összeget képezzük, akkor a szükséges és elégséges feltételt arra nézve, hogy

[ÁBRA]

az (A) beosztás speciális elrendezésétől független, véges és meghatározott szám legyen a

h=H        (B)

egyenlet fejezi ki. Ha a (B) alatti feltétel ki van elégítve egy bizonyos (A) beosztásra nézve, akkor ki lesz elégítve akármilyen más (A) beosztásra nézve is és J az (A) beosztástól teljesen független meghatározott érték lesz. Ez az érték az, amelyet az f függvény T-re vonatkozó n-dimenziós integráljának nevezünk (nem minden n-dimenziós integrál egyszersmind n-szeres integrál) és

[ÁBRA]

-vel jelöljük. A (B) alatti feltételt, tehát az integrál létezésére szükséges és egyszersmind elegendő feltételt, az integrálhatóság feltételének nevezzük. E feltétel még a

[ÁBRA]

alakban irható, amelyben Oi=Hi-hi az f függvény ingadozása Dti számtartományon belül. Az integrálhatóság feltételének ez az alakja Riemann-tól ered (Gesamm. Werke 236. l.).

Ha n = 1 és T egyetlen összefüggő darabból áll, akkor az integráció tartománya közönséges számközzé lesz; ha ez (ab), az integrál jelölésére az

[ÁBRA]

jelet használjuk. Ilyen integrált egyszerü határozott integrálnak nevezünk.

A H.-ban foglalt konvergens folyamat segítségével számos esetben sikerül a differenciálás műveletének megfordítása. Ha ugyanis F1,2 az (ab) számközön belül véges és folytonos függvény és F(x) differenciálhányadosa, f(x) integrálható, azaz az (R) alatti feltételt kielégíti, akkor az

[ÁBRA]

képlet az f(x) differenciálhányadosból visszaszolgáltatja az eredeti függvénynek F(a)-nek kifejezését. Ha azonban az f(x) differenciálhányados nem integrálható függvény, akkor ma még egyáltalában nem ismeretes oly konvergens műveletsor, amely f(x) értékeiből visszaadná F(x) értékét. Ilyen F(x) függvények nem integrálható differenciálhányadossal tényleg léteznek, mint azt egy Volterra-tól származó igen tanulságos példa mutatja.

A H. fogalmára épp ugy mint a differenciálhányados fogalmára a gyakorlati szükség vezetett. Nevezetesen a területszámítás és ivhosszmérés tette szükségessé e fogalom megállapítását. Ilyen értelemben csirájában már Archimedes-nél találkozunk e fogalommal, de öntudatosan csak sokkal későbben Leibniz használta e fogalmat, aki functio summatoria-nak nevezte. Ugyanő állapította meg a reá vonatkozó legfontosabb műveleti szabályokat. Későbben Bernoulli János a fősúlyt arra helyezvén, hogy az integrálás mint a differenciálás műveletének megfordítása, a differenciálhányados értékéből visszaadja az eredeti függvényt, az integer (a. m. eredeti) szó felhasználásával megalkotta a most kizárólagosan használatos integrál elnevezést. Ma tudjuk, hogy Leibniz álláspontja a jogosultabb, mert, mint fentebb már említettük, a «functio summatoria» nem adja meg minden esetben a differendciálhányadosból az eredeti függvényt. A integrálhatóság szükséges és elégséges feltételeit Riemann fejtette ki Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe cimü értekezésében.

Forrás: Pallas Nagylexikon



Maradjon online a Kislexikonnal Mobilon és Tableten is