Hatványsor

Ezzel az elnevezéssel a

[ÁBRA]

alaku sorokat jelöljük. E sorokban x változót jelent. Amaz x értékek összesége, amelyekre nézve a H. feltétlenül összetartó, a H. összetartási tartományát alkotják. Ez az összetartási tartomány háromféle lehet: 1. Csakis egyetlen helyet tartalmaz; ez a hely akkor x = a; ebben az esetben a H. függvénynek értelmezésére alkalmatlan. Ilyen sor p.[ÁBRA] (x-a)ⁿ. 2. Véges, ekkor egy bizonyos R pozitiv szám meghatározható ugy, hogy az

                | x - a | < R (K_a)

egyenlőtlenségből folyó x értékek az összetartási tartományt teljesen kimerítik; ebben az esetben az összetartási tartományt oly kör kerületén belül fekvő pontok összeségével ábrázolhatjuk, melynek középpontja az a számnak megfelelő pont, sugara R. Ezt a kört a H. összetartási körének nevezzük és K_o-val jelöljük. Igy p. a [ÁBRA] sor összetartási köre az a kör, amelynek középpontja a koordináta-rendszer kezdőpontjában van és sugara egyenlő 1-gyel. 3. Végtelen, akkor felöleli a komplex számok összeségét, tehát oly körnek tekinthető, melyre nézve R = ¥. A H. összetartási körén bvelül, x-nek folytonos és differenciálható függvényét definiálja. A P (x | a) differenciálhányadosa,

[ÁBRA]

ismét H., amely az eredeti H. tagonkénti differenciálása utján keletkezik. Ebből tüstént következik, hogy P(x | a)-nak összes differenciálhányadosai H. alakjában állíthatók elő, melyeknek összetartási körei a P(x | a) összetartási körével, K_t-val összeesnek. Ha b a K_o-n belül fekvő hely, akkor a P (x | a) H.-ból a

[ÁBRA]

H. vezethető le. Ha ennek összetartási köre K_b, akkor K_a és K_b összes közös helyein

                P (x | a , b) = P (x | a).

Ha tehát K_b teljesen K_a -n belül esik, amikor K_b a K_a -t érinteni fogja, akkor a levezetett P (x | a , b) H. nem vesz fel oly értékeket, amelyeket az eredeti P (x | a) még fel nem vett volna. Uj értékekhez tehát csakis akkor jutunk, midőn K_b a K_a kerületét két pontban metszi és igy a K_b kör a K_a -ból mintegy kinyulik; ekkor K_a és K_b közös részeiben ismét

                P (x | a,b) = P (x | a)

és nem közös részekben (P (x | a , b) a P (x | a)-val definiált függvény értelmezésének kibővítésére használható. Ebben az esetben (P (x | a,b)-t a P (x | a) folytatásának hivjuk. A P (x | a , b)-nek ismét lehetnek folytatásai, ugy hogy végtelen sok ily folytatáshoz juthatunk. E folytatások összesége analitikai függvényt konstituál. Ha P (x | a)-ból levezetett összes P (x | a , b) sorok összetartási körei K_a -ba esnek, akkor a függvény K_a -n tul nem folytatható, azért K_a -t természetes határának nevezzük. Egy és ugyanazon x_o hely környezetéhez végtelen sok folytatás szerkeszthető; ha ezek mindannyian azonosak, akkor az analitikai függvény egyértékü, különben többértékü.

Forrás: Pallas Nagylexikon