Infinitezimál számítás

igy hivjuk közös néven a változó mennyiségek növekményeinek összehasonlításából keletkezett differenciálszámítást (derviációszámítás, különbzéki számítás), a differenciálás megfordításával foglalkozó integrálszámítást (egészelés) s a variációszámítást, mert mindannyian végtelenül kisebbedő vagy - mint röviden mondjuk - végtelen kicsiny mennyiségekre vonatkozó számításokkal foglalkoznak.

Differenciálszámítás. Ha valamely x változó mennyiség értékét azáltal változtatjuk, hogy az adott x értékhez hozzáadunk h-t, akkor h a változó növekményének neveztetik. Ez azonban nem tartozik pozitiv számnak lenni, tehát nem jelent mindig a szó szoros értelmében nagyobbodást. Ha továbbá y = f(x) az x független változónak valamely függvényét jelenti, akkor az f(x+h) - f(x) különbséget a függvény növekményének nevezzük.

Ha x-nek más és más adott értéket tulajdonítunk, az f"(x) differenciálhányadosnak is más és más értéke lesz, ugy hogy f"(x) szintén az x függvénye s mint ilyen f(x) derivált függvényének neveztetik. Ha e derivált függvényt ujból differenciáljuk, vagyis f"(x) differenciálhányadosát képezzük, akkor f(x) másodrendü vagy második differenciálhányadosát nyerjük.

Hasonlóképen képezhetjük a második differenciálhányadosból f(x)-nek harmadrendü vagy hamadik differenciálhányadosát, stb.

A differenciálhányados fogalmából következik hol h tetszőlegesen kicsinnyé tehető, hacsak Dx eléggé kicsinynek van választva. E szerint nemcsak Dy és f"(x) Dx különbsége (h.Dx), hanem még ennek Dx-hez való viszonya is Dx-szel együtt minden határon tul kisebbedik. Szokott kifejezés-móddal ezt ugy mondhatjuk, hogy ha Dx s vele együtt Dy végtelenül kicsinnyé lesz, akkor Dy és f"(x)Dx különbsége a Dx-nél magasabb rendü végtelen kicsinnyé lesz. Továbbá rendesen ahelyett, hogy Dx és Dy végtelenül kicsinnyé lesznek; röviden csak azt mondjuk, hogy végtelenül kicsinyek, s ilyenkor dx és dy-nal jelöljük. Ugyanekkor ahelyett, hogy Dy és f"(x) Dx különbség magasabb rendü végtelen kicsinnyé lesz, azt mondjuk, hogy dy és f"(x)dx egymástól csak magasabb rendü végtelen kicsiny mennyiséggel különbözik. Képzeletben dy = f" (x)dx, hol a növekmények dx és dy-nal való jelölése már arra figyelmeztet, hogy az egyenlet csak a magasabb rendü végtelen kicsiny mennyiségek elhanyagolásával igaz. A dx és dy végtelenül kicsiny növekményeket defferenciálóknak nevezzük. A függvény differenciálja (dy) a mondottak szerint egyenlő a differenciálhányadosnak s az x független változó differenciáljának szorzatával. Minthogy valamely függvény differenciálhányadosából a függvény differenciálja a fordítva a differenciálból a differenciálhányados közvetlenül felirható, azért ugy a differenciálhányadosnak, mint a differenciálnak képezését differenciálásnak (különbzékelésnek) nevezzük.

A differenciálás fogalma két és több független változó függvényeire szintén kiterjeszthető. Ha z = f(x,y) függvényben csak x-et növesztjük, ellenben a másik változó értékét változatlanul hagyjuk, akkor z-t tulajdonképen az egyetlen x változó függvényének tekintjük s mint ilyennek mevizsgálhatjuk differenciálhányadosát. Az igy nyert differenciálhányados z-nek parciális differenciálhányadosa x szerint és d z/d x-szel jelöltetik.

Történet. Az infinitezimál számítás módszereinek csirája már az ókorban is megtalálható. Már Archimedes ugy határozta meg az egy görbe vonal által bezárt területet, hogy bizonyos számu trapezszerü részre osztotta, melyek számát minden határon tul növelte, mig szélességüket minden határon tul kisebbítette s velök a meghatározandó területet mintegy kimerítette. E módszert exhaustiónak nevezzük. Az a mozgalom azonban, mely a differenciál- és integrálszámításra vezetett, csak a XVII. században indult meg. 1635. jelent meg Cavalieri hires Geometria indivisibilibus continuorom nova quadam ratione promota cimü művének első kiadása, melyben a sikterületeket végtelenül sok párhuzamos egyenes összességének, a testeket pedig végtelenül sok sik összességének tekinti. A rákövetkező fészázadban számosan foglalkoztak az infinitezimál számítás körébe tartozó feladatokkal; még pedig a differenciálszámítás körébe tartozó feladatokkal (érintő meghatározása, függvények legnagyobb és legkisebb értékének megállapítása) Fermat, az integrálszámítás körébe tartozókkal Pascal foglalkozott legnagyobb sikerrel. Végre a differenciál és integrál számítás tulajdonképeni megalapítói Leibniz és Newton. A ma használt elnevezések és jelölések Leibniztől valók, legalább amennyiben egy változás függvényekre vonatkoznak. Newton mekanikai felfogásból indult ki, a differenciálhányadosokat sebességeknek tekintette s fiuxióknak nevezte, magát az infinitezimál számítást pedig fiuxió-számításnak. 1696., tehát kevéssel a differenciál- és integrálszámítás feltalálása után, Bernoulli János a matematikusoknak egy variációszámítási feladatot tüzött ki: a brachistochron (l. o.) meghatározását. A feladatot többen oldották meg, de csak Bernoulli Jakab, Jánosnak bátyja fejezte ki világosan az eféle feladatok megoldására szolgáló eljárás alapgondolatát s azért ő tekintendő a variációszámítás megalapítójának. Egyszersmind felszólította testvérét, alkalmazza az uj módszert más kérdések megfejtésére, köztük a következőére: egyenlő kerületü (izoperimetrikus) idomok közül melyik a legnagyobb területü. E problemáról hosszu ideig az összes variációszámítási problemákat (a szó tágabb értelmében) izoperimetrikus problemáknak nevezték. Az ily problemák tisztán analitikai megoldására csak Euler talált módot s a variációszámítás mostani módszereit csak Lagrange alapította meg.

Forrás: Pallas Nagylexikon