Infinitezimál transzformáció

a transzformáció-csoportok elméletének egyik alapfogalma. Ha p. az x" és y" változók az

x" = f(x,y) y" = g(x,y)

egyenletekkel mint x és y függvényei vannak értelmezve, akkor ez az egyenletrendszer az xy és x", y" változók között transzformációt (átalakítást) fejez ki, feltéve, hogy az egyenletrendszer x és y szerint megoldható. Ha f és g még határozatlan állandókat (parametereket) is tartalmaz, akkor ezen egyenletek végtelenül sok transzformációt fejeznek ki, melyek a parameterek értéke más és más választásának felelnek meg. Ilyen egyenletrendszer p.

(1) x" = a - x y" = y.

Ha e transzformációval x,y-ról áttérünk x" és y"-re s azután a hasonló alaku

x" = b - x" y" = y"

átalakítással x", y"-ról x" és y"-re, akkor az x,y és x"y" között levő kapcsolatot az

x" = b - a + x y"=y

transzformáció-képletek fogják kifejezni, melyek többé nem birnak az (1) alatti alakkal. Ellenben a

(2) x"= a + x cos a - y sina

y" = b + x sin a + y cosa

transzformációnak s a hasonló alaku

x" = a" +x" cosa"-y" sina"

y" = b"+x" sina"+y" cosa"

transzformációnak egymás után való alkalmazása oly

x" = a" + x cosa" - y sina"

y" = b" + x sina" + y cosa"

eredő transzformációval pótolható, mely ismét a (2) alatti alakkal bir, csakhogy benne a, b, c helyett az

a" = a + a" b" = b + b" a" = a + a"

állandók vannak. Az (1) alaku és a (2) alaku transzformációk között tehát lényeges különbség van: az előbbiek nem képeznek csoportot, az utóbbiak ellenben egy háromtagu véges folytonos csoportot képeznek. Egyáltalában, ha a transzformáció-képletek g parametert tartalmaznak és az illető képletek által kifejezett végtelenül sok transzformáció közül bármelyik kettőt összetéve megint csak az adott alaku transzformációk egyikét nyerjük, akkor e transzformációk összeségét g tagu véges folytonos transzformációcsopotnak, vagy röviden g tagu csoportnak mondjuk.

Jellemezzen az

x" = f(x,y;a) y" = g(x, y; a)

egyenletrendszer oly egytagu csoportot, mely az identikus transzformációt is magában foglalja, azaz létezzék egy oly a0 számérték, hogy

Ha a helyébe a0+dt képlet szeritn a dt parametert vezetjük be és ennek hatványai szerint sorba fejtünk, akkor dt eléggé kicsiny értékeire nézve

x" = x + x (x,y) dt +...

y" = y + h (x,y) dt +...

vagyis a

dx = x.dt dy = h.dt

egyenletek dt -nek első hatványáig terjedő pontossággal megadják x és y változását a szóban forgó transzformációnál. Azért ezekről az egyenletekről azt mondjuk, hogy infinitezimál transzformációt fejeznek ki. Az I. egyszersmind magát az egytagu csoporot is teljesen jellemzi.

Forrás: Pallas Nagylexikon