Invariáns

(uj-lat.), a formális algebrának, vagyis az algebrai alakok életelmének egyik alapfogalma. Algebrai alak alatt két v. több változónak homogen racionális egész függvényét értjük, vagyis oly többtagut, melynek minden egyes tagjában a kitevők összege ugyanaz. Aszerint, hogy a kitevők össze 1, 2, 3, 4 stb., az alak első rendü (lineáris), másodrendü (quadratikus, négyzetes), harmadrendü (kubikus, köbös), negyedrendü (biquadratikus) stb. Aszerint pedig, hogy a változók száma 2, 3, 4 stb., megkülönböztetünk binaer, ternaer, quaternaer stb. alakokat. P.

ax²+2bxy+cy²

(hol a, b, c állandó együtthatók, s csak x és y a változók) egy quadratikus binaer alak. Ha ezt alávetjük az

x = au + bv

y = au + dv

homogen lineáris átalakításnak (transzformáció), melyben u és v az uj változók, mig a, b, g, d, a transzformáció együtthatói, akkor az

Au₂+2Buv+Cv₂

transzformált (átalakított) alakot nyerjük, melynek együtthatói:

A=aa² + 2bag + cg2

B=aab + b(ad + bg) uv + cgd

C=aa² + 2bbd + bg + cb2

Valamely egyes algebrai alaknak vagy pedig valamely több alakból álló rendszernek együtthatóiból képezett, minden egyes alak együtthatóiban külön-külön homogen, racionális egész kifejezést I.-nak (v. hiperdeterminánsnak) nevezzük, ha csak egy állandó (azaz az alak együtthatóitól ment s pusztán a transzformáció együtthatóit tartalmazó) tényezővel változik meg, midőn az eredeti alakok együtthatói helyett a lineáris átalakítással transzformált alakok együtthatóiból képezzük. P. ac-b2 az ax2+2 bxy+cy2 alaknak I.-a, mert

AC - B² = (AC - b²) (ad-bg)²,

és itt az (ad-bg)² tényező csak a, b, g, és d-t tartalmazza, ellenben a, b, c-től ment.

Az I.-okon kivül az algebrai alakok elmélete még számos más I. jellegü kifejezéssel (concomitans) foglalkozik, melyek mind olyanok, hogy csak egy állandó tényezővel változnak meg, ha az eredeti alakok helyett és az eredeti változók helyett a transzformáltakra vonatkozólag képezzük. Az I. után a legegyszerübb ily kifejezések a kovariánsok, melyek az I.-októl csak annyiban különböznek, hogy a változókat is tartalmazzák. Sőt a változókon kivül tartalmazhatnak a kovariánsok más, a változókkal kogrediens változókat is. Az y₁, y₂, ..., y_n változók az x₁, x₂ ..., xn változókkal kongrediensek, ha az x-ek bármely transzformációja az y-ok, ugyanoly transzformációjával jár együtt. Ellenben az u₁, u₂, ..., un változók az x₁, x₂, ..., xn változókkal kontragrediensek, ha bármely transzformációnál u₁, u₂, ..., u_n épp oly függvényei az u_j u₁´, u₂´, ..., u_n´-nek, mint fordítva az uj x₁´, x₂´, ..., xn´ változók a régi x₁, x₂, ..., xn változóknak. Kontragrediens változók p. a sikban a homogen pontkoordináták és a homogen vonalkoordináták. Ha valamely I. jellegü kifejezés az alakok együtthatóin kivül csak még az alakok változóival kontragrediens változókat tartalmaz, akkor ontravariánsnak neveztetik, mig a divariánsok ugy az alakok változóit, mint a velök kontragrediens változókat tartalmazzák.

A szó tágabb értelmében az I.-októl és általában az I. jellegü kifejezésektől nem kivánjuk meg, hogy egész kifejezések legyenek, hanem lehetnek racionális törtfüggvények vagy bármily algebrai függvények is. A racionális törtek közül különösen fontosak az abszolut I.-ok, melyek teljesen változatlanok maradnak, ha az eredeti alakok helyett a transzformáltakra vonatkozólag képeztetnek. Valamely alaknak v. valamely több alakból álló alaprendszernek racionális I.-ai között mindig találhatók véges számmal olyanok, melyekből valamennyi több mint azoknak racionális függvénye fejezhető ki. Hasonlóképen az I.-ok elméletének alaptétele szerint valamely alaknak vagy alakrendszernek szorosabb értelemben vett I.-ai bizonyos véges számu I.-ból szorzás és összevonás által nyerhetők.

Az I.-ok elmélete fontos algebrai alkalmazást talál a kanonikus alakok elméletében. Igy nevezik azon lehetőleg kevés határozatlan együtthatót tartalmazó alakokat, melyekre egy adott rendszámmal s adott változóval biró alakok lineáris transzformációval hozhatók. P. minden harmadfoku binaer alak, melynek diszkriminánsa (l. o.) nem zérussal egyenlő, két köb különbségévé, vagyis az x³-y³ alakra, transzformálható.

Az algebrai alakok I.-nak elméletét Boole, Cayler, Sylvester, Hermite és Aronhold alapították meg, kiknek nyomdokaiba Clebsch és Gordan léptek. Az utóbbitól való az alaptétel bebizonyítása binaer alakok esetében. Több változós alakok esetében azonban a bebizonyítás csak Hilbertnek sikerült, ki az ifjabb matematikusok között az I.-ok elméletének legkiválóbb művelője.

Forrás: Pallas Nagylexikon