Involució

(lat.). I.-nak nevezzük az oly egy és ugyanazon alakzatban egyesített proejtiv rendszereket, amelyekben az elempárok felcserélhetően felelnek meg egymásnak. Az alakzatnak tetszőleges elemét, mint az első rendszerhez tartozót x-el jelölve, megfelelője a másodikban legyen ´x; ezt, mint az első rendszerhez tartozót y-al jelölve, megfelelője a másodikban legyen y´. Az x és y elemekről azt mondjuk, hogy felcserélhetően felelnek meg egymásnak, ha y´ azonos x-el; vagyis az x º y´ elemnek ugyanaz az ´x º y elem felel meg, akár az első, akár a második rendszerhez tartozónak tekintsük. Rendszerint e két egyesített alakzatot csak egyetlen egy rendszernek tekintjük, amelynek elemeit kapcsolt párokba összefoglaljuk.

Elsőfoku alapalakzatok I.-ja.

Ha egyesített projektiv elsőfoku alapalakzatokban (l. Alapalakzat) egy elempár felcserélhető, akkor ugyanezzel a tulajdonsággal bir a többi elempár is, tehát I.-t képeznek. I.-s pontsor-, síksor-, illetőleg sugársornak nevezünk oly pont-, sík-, illetőleg sugársort, melynek elempárjai I.-t képeznek. Ha egy involuciós pontsor elempárjait, a pontsor sorozóján kivül fekvő valamely ponttal, illetőleg a sorozót nem metsző egyenessel kötjük össze, I.-s sugársort, illetőleg síksort kapunk és fordítva. Az elsőfoku alapalakzatok I.-ja, két elempár A, A₁, B, B₁ által meg van határozva, ugy hogy a tetszőlegesen választott Celemhez tartozó C₁ már megszerkesztendő és lineárisan meg is szerkeszthető. A következő tétel: «Egy teljes négyszögnek (l. o.) három szemben fekvő oldalpárja, síkjának tetszőleges egyenesén egy I.-nak három pontpárját határozza meg»; a vele duál tételekkel adja meg az I. lineáris szerkesztését.

Az I.-nak két kettőseleme van, azaz két oly eleme, mely megfelelőjével azonos. Az I.-t hiperbolikusnak, parabolikusnak, illetőleg elliptikusnak nevezzük, ha kettős elemei valósak és egymástól különbözők, valósak de összeesők, illetőleg képzetesek. A szerint, amint az I. két párjának elemei egymást szétválasztják (A B A₁ B₁ egymásutánt képeznek) vagy nem (A A₁ B B₁ egymásutánt képeznek), az I. elliptikus vagy hiperbolikus. A parabolikus I.-nál minden párnak egyik eleme összeesik a két egyesített kettőselemmel. Valamely hiperbolikus I. kettős elemeit G, H-val, egy tetszőleges elempárját X, X₁-el jelölvén (G H X X₁), mindig harmonikus csoport. Az I.-s pontsor középpontjának nevezzük azt az M pontot, mely a végtelenben fekvő ponttal az I.-nak egy párját képezi. Minden I.-s pontsornál M A. M A₁ = M B. M B₁ = ... = c = constans. A c állandót az I. hatványának nevezzük; ennek számértéke positiv, negativ vagy zerus, a szerint amint az I. hiperbolikus, elliptikus vagy parabolikus. A hiperbolikus I. szimmetrikus, a) ha az I.-s pontsorban az egyik kettős elem p. H a végtelenben fekszik, akkor minden párra nézve:

                X G = G X₁;

b) ha az I.-s sugár-, vagy síksorban a két kettős elem g és h egymásra merőleges, akkor mindig

                < xg = < gx₁, és < xh = hx₁

Az elliptikus I.-t derékszögünek nevezzük, ha az egyes párok elemei egymásra merőlegesek. Ilyen lehet az I.-s síksor vagy sugársor.

Valamely I.-s sugársor a, a₁; b, b₁; ... sugárpárjai egy tetszőlegesen a sugársor T középpontján keresztül menő és síkjában fekvő k kúpszeleten az A, A₁; B, B₁; ... pontpárokat határozzák meg, amelyek k-nak tetszőleges más S pontjával összekötve a´, a´₁; b´, b´₁; ... I.-s sugársort képeznek. Az A, A₁; B, B₁; ... pontpárokról szintén azt mondjuk, hogy I.-t képeznek, még pedig hiperbolikus, elliptikus illetőleg parabolikus I.-t, ha az eredeti a, a₁; b, b₁; ... és vele egyidejüleg minden a´, a´₁; b´, b´₁; ... I. hiperbolikus, elliptikus illetőleg parabolikus volt. Az A, A₁; B, B₁; C, C₁; ... pontpárok összekötő vonalai mind egy és ugyanazon P ponton, az I. pólusán mennek keresztül, mely a hiperbolikus I.-nál a k-n kivül, az elliptikusnál a k-n belül és a parabolikus I.-nál a k-n rajta fekszik. Az I. pólusából a k-hoz vont érintők érintési pontjai lesznek az I. kettőspontjai. A megfelelő módon valamely kúpszelet érintőit, másodrendü kúp alkotóit v. érintősíkjait szintén oly elempárokba csoportosíthatjuk, melyek I.-kat képeznek.

Valamely I.-s síksor A, A₁; B, B₁; ... síkpárjai egy tetszőlegesen a síksor sorozóján keresztül menő másodrendü felülettel H-val egy é ugyanazon másodrendü torzsereghez (l. Másodrendü felület) tartozó a, a₁; b, b₁; ... alkotó párokat állapítanak meg, amelyek a H felület másik torzseregének bármely s sugarával összekötve, A´, A´₁; B´, B´₁; ... I.-s síksort képeznek. Az a, a₁; b, b₁; ... egyenes párokról szintén azt mondjuk, hogy I.-t képeznek, még pedig hiperbolikus, elliptikus illetőleg parabolikus I.-t, ha az eredeti A, A₁; B, B₁; ... és vele egyidejüleg minden A´, A´₁; B´, B´₁; ... I. hiperbolikus, elliptikus illetőleg parabolikus volt. Az a, a₁; b, b₁; ... hiperbolikus I. valós kettőselemeit - amelyeket az A, A₁; B, B₁; ... I. kettőssíkjai metszenek ki a H felületből - g és h-val jelölvén, (g h a a₁), (g h b b₁) ... torzegyenesekből álló négyes csoportokról szintén azt mondjuk, hogy harmonikus csoportot képeznek.

Minden egyenes, valamely másodrendü felületsor egyes felületeivel, - v. az egyenesen keresztül menő síkban fekvő kúpszeletsor egyes kúpszeleteivel egy és ugyanazon I.-s pontsor pontpárjait határozza meg. Ez a tétel az I. fogalmának általánosítására vezet. Valamely síkban legyen adva egy n-ed rendü görbesor, azaz egyszerüen végtelen sok n-ed rendü görbe, melynek ugyanaz az n² közös pontja van. A sík tetszőleges e egyenesen minden egyes görbével n pontot határoz meg, ugy hogy az e-n egyszerüen végtelen sok, egyenkint n pontból álló csoport keletkezik. Ez a pontrendszer n-ed rendü I.-nak neveztetik és a következő tulajdonsággal bir: két csoport A₁, A₂, ..., A_n és B₁, B₂, ..., B_n meghatározza az n-ed rendü I.-t, még pedig ugy, hogy bármely harmadik csoportja C₁, C₂, ..., C_i, ..., C_n a csoportnak bármely C₁ eleme által teljesen meg van határozva. Az egyes csoportok elemei közt tehát teljes felcserélhetőség uralkodik.

Az I. fogalmának még nagyobb általánosítását adja a következő tétel: ha valamely elsőfokú alapalakzat (v. általában racionalis sorozó) elemei oly kölcsönös vonatkozásban vannak, hogy az Ai₁, Ai₂, ..., Ai_k, k elemnek választásával további n-k elem (k) Ai_n-k, Ai_n-_k+1, Ai_n-k+2, ... Ai_n ugy van meghatározva, hogy ezen A₁, A₂, ..., A_n, n elem közt teljes felcserélhetőség uralkodik, még pedig oly módon, hogy az n-tagu csoportból bármely k elemet mint meghatározót kiválasztva, mindig a többi n-k elemet nyerjük mint meghatározott elemet; akkor ezen n elemből álló csoportok összességét n-ed rendü, k-ad foku I.-nak nevezzük. - Ha k = 1, akkor az előbb tárgyalt n-ed rendü I.-val van dolgunk, mig k = 1, n = 2 a közönséges I.-t adja.

Másodfoku alapalakzatok I.-ja.

Ilyent kétfélét különböztetünk meg a szerint, amint a projective egymásra vonatkoztatott másodfoku alapalakzatokban a megfelelő elempárok hasonnemü vagy különnemü elemekből állanak. a) Egyesített proejtiv síkok centralis I.-ja. Minden pontnak pont, minden sugárnak sugár, tehát hasonnemü elem felel meg. Az összeeső megfelelő elemek: egy s egyenesnek minden pontja és még egy általában az s-en kivül fekvő C pont; továbbá a C pontnak minden sugara és még az s sugár. C az I. centruma, s az I. tengelye. Megfelelő A A₁ pontok összekötő vonalai a C-n mennek keresztül, megfelelő a a₁ egyenesek metszéspontjai az s egyenesek feküsznek, ugy hogy (C S A A₁) és (c s a a₁) harmonikus csoportok, ha S-sel, illetőleg c-vel jelöljük az (A A₁, s) pontot, illetőleg az (a a₁, C) egyenest. A dualitás elvének alkalmazásával megkapjuk a megfelelő I.-kat az egyesített projektiv sugárpontokban és síkpontokban. b) A síkbeli polárrendszer. Minden A pontnak egy a₁ sugár - a pont polárisa, - minden b sugárnak egy B₁ pont - a sugár pólusa, - tehát különnemü elem felel meg. Ha b º a₁, akkor B₁ º A az I. jellemző tulajdonságának megfelelőleg.

Harmadfoku alapalakzatok I.-ja.

I. A megfelelő elempárokat hasonnemü elemek alkotják. a) A centrális I. a térben. minden pontnak pont, minden síknak sík és minden sugárnak sugár felel meg. Az összeeső megfelelő elemek: egy S síknak minden pontja és még egy általában az S-en kivül fekvő C pont, továbbá a C pontnak minden síkja és még az S sík, végre a C pontnak és az S síknak minden sugara. Megfelelő A A₁ pontok összekötő vonalai a C-n mennek keresztül, megfelelő A A₁ síkok metszésvonalai az S-en feküsznek és megfelelő a a₁ sugarak a C-n keresztülmenő síkot és az S-en fekvő pontot határoznak meg, ugy hogy (C S A A₁), (C S A A₁) és (c s a a₁) harmonikus csoportok, ha S-el, C-vel, illetőleg c-vel jelöljük az (A A₁, S) pontot, az (A A₁, C) síkot, illetőleg az (a a₁, C) sugarat. b) A biaxialis I. (Geschaarte Involution). Az összeeső megfelelő elemek: két torzegyenesnek, s₁ és s₂-nek minden pontja, továbbá az s₁ és s₂ egyeneseknek minden síkja, végre az s₁ s₂ sugarak és a mindkettőt metsző sugarak összesége. Megfelelő A A₁ pontok összekötő vonala az s₁, s₂ egyeneseket rendre az S₁, s₂ pontokban metszi és megfelelő. A A₁ síkok metszésvonala az s₁, illetőleg s₂-vel az S₁, illetőleg S₂ síkokat határozza meg, ugy hogy (S₁ S₂ A A₁) és (S₁ S₂ A A₁) harmonikus csoportok. Megfelelő egyenesek a a₁ általában az s₁ és s₂ egyenesekkel egy és ugyanazon másodrendü torzsereghez tartoznak, még pedig ugy, hogy (s₁ s₂ a a₂) harmonikus csoport.

II. A megfelelő elempárokat különnemü elemek alkotják. a) A közönséges térbeli polárrendszer. Minden A pontnak egy általában nem az A-n keresztülmenő A₁ sík, - az A pontnak poláris síkja, vagy rövidebben polárisa; - minden B síknak egy általában nem a B-n fekvő B₁ pont, - a B sík pólusa felel meg, még pedig ugy hogy ha B º A₁, akkor egyszersmind B₁ º A. Minden m egyenesnek egy m₁ egyenes - az m-nek polárisa felel meg, még pedig ugy, hogy ha m az A és B pontok összekötő vonala, akkor m₁ az A és B pontok polársíkjainak A₁ és B₁-nek metszésvonala. Az m₁ egyenest n-nel, n polárisát n₁-el jelölvén, n₁ º m. b) A nullrendszer oly térbeli polárrendszer, melyben minden pont a polárisában fekszik és minden sík a pólusán keresztül megy. Az elempárok itt is felcserélhetően felelnek meg egymásnak, tehát I.-t képeznek, l. Nullrendszer.

Forrás: Pallas Nagylexikon