Kisszótár


Magyar Magyar Angol Angol
Komplex szá... ----

Magyar Magyar Német Német
Komplex szá... ----

Címszavak véletlenül



Címszó:
Tartalom:

Komplex számok

Az ax2 + bx + c = 0 másodfoku egyenlet gyökei csak akkor lehetnek valós számok, hogy ha b2 - 4ac ³ 0. Hogy ha tehát csakis a valós számok körére szorítkoznánk, a másodfoku egyenlet problemájának megoldatlannak kellene maradnia mindazokban az esetekben, midőn b2 - 4ac negativ szám. E lehetetlenséget új számok bevezetése által hárítjuk el, melyek jellemzésére két valós számot p-t és q-t bizonyos sorrendben alkalmazunk és ilyen alakban állítunk elő: p + qi, hol i a négyzetgyök -1 egyik értékét, azaz ama számok egyikét jelenti, melyeket a z2 + 1 = 0 megoldása végett vezetünk be az algebrába. Ezeket az új számokat K.-nak nevezzük. Ehez az értelmezéshez még az a megállapítás csatolandó hozzá, hogy midőn p + qi-ben a q = 0, p + qi = p legyen, ugy hogy a valós számokat mint a K. egy különös esetét tekinthessük.

Szem előtt tartva ezt az utóbbi körülményt, valamint a célt, melyért a K. bevezetése az algebrába történt, két K. p + qi és r + si összeadásának és szorzásának értelmezését ugy választjuk, hogy i-t négyzetgyök -1-nek fogva fel, tekintet nélkül arra, hogy ennek az alaknak a valós számok körében nincsen jelentése, a számításokat a valós számok körében érvényes szabályok szerint végezhessük el. Ennek alapján lesz:

(p + qi) + (r + si) = (p + r) + (q + s)i

(p + qi) (r + si) = (pr - qs) + (ps + qr)i,

mely utóbbi eredményhez még azt a megjegyzést csatoljuk hozzá, hogy négyzetgyök -12-et -1-gyel helyettesítettük. Mint látni, ezekből az értelmezésekből az következik, hogy a K. összeadására és szorzására vonatkozólag a kommutativ, asszociativ és disztributiv elv megtartja érvényességét.

Ha a kivonást és osztást itt is mint az összeadás, ill. szorzás megfordítását fogjuk fel, e műveletek a következő módon hajtandók végre:

[ÁBRA]

amiből világos, hogy mind a két művelet mindig végrehajtható és egyértelmü. Kivételt képez az az eset, melyben r = 0 és s = 0, amikor r + si-vel az osztás nem végezhető el. Hogy a másodfokunál magasabb foku algebrai egyenletek megoldása is a K. segítségével mindig elvégezhető, azt legelőször Gauss bizonyította be.

Igen fontos segédeszköze sok matematikai vizsgálatnak a K. geometriai ábrázolása a sík pontjai által. Hogyha a síkban egy derékszögü koordinátarendszert veszünk fel, a sík pontjai és a K. közt oly módon állapíthatunk meg egy kölcsönös egyértelmü vonatkozást, hogy a p + qi szám geometriai képviselőjének a sík ama pontját tekintjük, melynek x-koordinátája p és y-koordinátoja q. A K. e geometriai ábrázolását Argand találta fel, általánosan használatos azonban csak Gauss óta, ki az erre az ábrázolásra vonatkozó eszméket újból fejtette ki.

Megjegyezzük még, hogy a p + qi komplex számot az r (cosjel + i sinjel) alakra lehet hozni, melyben

[ÁBRA]

és j egy a

cosj = P/r, sinj = q/r

egyenleteket kielégítő érték. A K.-nak ezt az r (cosjel + i sinjel) alakját trigonometrikus alaknak nevezik, r-et p + qi abszolut értékének mondják s igy jelölik: ïp+qiï, továbbá j-t a cosj + i sinj iránytényező argumentumának hivják.

A K.-at, melyek bevezetését az algebrába az egyenletek megoldásának problemája tette szükségessé, mind két egymástól független egység, az 1 és i lineáris függvényeit foghatjuk fel. A K. általánosításához, melyre azonban az algebrában már nincsen szükségünk, ugy juthatunk, hogy ha n egymástól független egységből indulunk ki és ezeknek lineáris függvényeit képezzük. Az igy származó számalakokat magasabbrendü K.-nak vagy hiperkomplex számoknak nevezzük. Ezekhez tartoznak a Hamilton-féle quaterniók is.

Forrás: Pallas Nagylexikon



Maradjon online a Kislexikonnal Mobilon és Tableten is