Konvergencia

(új-lat., a. m. összetartás), a matematikában a végtelen műveletsorozatok elméletének egyik alapfogalma. Annak magyarázatára, hogy mit kelljen végtelen műveletsorozat alatt érteni, képzeljük adva a számoknak egy bizonyos törvény szerint minden határon tul folytatható sorozatát:

u₁, u₂, u₃, ..., u_n, ... (1)

Hogy ha ennek első, első két, első három, általában első n számából egy bizonyos eljárás segítségével egy-egy új számértéket képezünk, akkor ily módon a számoknak egy új végtelen sorozatát nyerjük:

T₁, T₂, T₃, ...., T_n, ...              (2)

Az eljárást, melynek segítségével ezt az új sorozatot képezzük, végtelen műveletsorozatnak nevezzük. A végtelen műveletsorozatok közül a gyakrabban előfordulókra külön elnevezések és szimbolumok használatosak. Igy, ha

T_n = u₁ + u₂ + ... + u_n,

akkor azt mondjuk, hogy az (1) sorozatból végtelen sort képezünk. Ennek szimboluma:

[ÁBRA]

u_n = u₁ + u₂ + u₃ + ...                                           (a)

Hogy ha T_n = (1 + u₁) (1 + u₂) ... (1 + u_n), akkor végtelen szorzattal van dolgunk, melynek szimboluma:

[ÁBRA]

(1 + u_n) = (1 + u₁) (1 + u₂) (1 + u₃)...   (b).

A végtelen lánctörtek egy egyszerübb esetét nyerjük, midőn

[ÁBRA]

szimboluma:

[ÁBRA]                                                                (c)

Hogy ha a (2) sorozat tagjai az n növekedtével egy bizonyos véges meghatározott értékhez közelednek (l. Határérték), vagyis hogy ha lim (n=¥)T_n létezik és véges, azt mondjuk, hogy az (1) sorozatból képezett végtelen sor, illetve végtelen szorzat, végtelen lánctört összetartó v. konvergens. Ehhez még csak azt tesszük hozzák, hogy e határértéknek a végtelen szorzat esetében a 0-tól is különbözőnek kell lennie. A K. tehát ezeknek az alakoknak csak akkor tulajdonsága, hogy ha a fennebb leirt eljárás egy véges és a végtelen szorzat esetében a 0-tól is különböző határértékhez vezet. E határértéket magát az illető végtelen sor, stb. értékének nevezzük és az (a), illetőleg (b), (c) alatti szimbolumokkal jelöljük. Minden más esetben a végtelen sor széttartó v. divergens és akkor az (a), (b), (c) alatti szimbolumok nem használhatók mint számok jelei.

A végtelen sorok és szorzatok esetében a K. két esete fordul elő. Föltétlenül összetartó végtelen sorral v. végtelen szorzattal akkor van dolgunk, hogy ha a végtelen sor, illetőleg szorzat értéke az (1) sorozat tagjainak sorrendjétől független; hogy ha pedig a végtelen sor v. végtelen szorzat széttartóvá válik, v. pedig értéke változik, midőn az (1) sorozatban a tagok sorrendjét megváltoztatjuk, föltételesen összetartónak nevezzük.

Hogy ha (1) sorozat tagjai valamely x változó függvényei, a [ÁBRA] u_n végtelen sort függvénysornak nevezzük. Ide tartoznak p. a hatványsorok és a Fournier-féle sorok (l. o.). E függvénysorok vizsgálatában egyik alapvető feladat annak megállapítása, hogy az x változó minő tartományaiban összetartók. E tartományokat az illető sorok K.-tartományainak nevezzük és világos, hogy ezeken belül a sorok értéke, mint az x változó függvénye fogható fel. A függvénysoroknál a K. egy új nemével, az egyenletes K.-val találkozunk, melynek függvénytani vizsgálatokban igen fontos szerepe jut. Hogy ha ugyanis azt a végtelen sort, amely [ÁBRA] u_n-ből, midőn ez függvénysor, az első n tag elhagyása által keletkezik, mindjárt tekintettel arra, hogy x-nek függvényével van dolgunk, R_n (x)-szel jelöljük, a [ÁBRA] u_n függvénysor a K. tartomány x helyén egyenletesen összetartó akkor, hogy ha egy tetszőlegesen választott pozitiv d számnak megfelelőleg lehet egy pozitiv egész számot N-t és egy pozitiv számot d-t megállapítani, ugy hogy R_n (x + h) abszolut értéke mindig kisebb e-nál, valahányszor n > N és h abszolut értéke kisebb d-nál. Az x változó egy bizonyos tartományában egyenletesen összetartó a[ÁBRA] u_n függvénysor akkor, hogy ha egy tetszőlegesen választott pozitiv d számnak megfelelőleg lehet egy pozitiv egész számot N-t ugy megállapítani, hogy R_n (x) abszolut értéke kisebb d-nál, valahányszor x egy a tartományhoz tartozó tetszés szerinti helyet jelent és n > N.

Forrás: Pallas Nagylexikon