Különbségek elmélete

(véges különbségek elmélete). Hogy ha

y₀, y₁, y₂, y₃, y₄, ...

a számoknak valamely tetszés szerinti törvényt követő véges vagy végtelen sorozatát jelenti, akkor az

y₁-y₀, y₂-y₁, y₃-y₂, y₄-y₃, ...

sorozat tagjait rendre igy jelöljük:

Dy₀, Dy₁, Dy₂, Dy₃, Dy₄, ...

Az ehhez a sorozathoz tartozó számokat az adott sorozat első v. elsőrendü különbségeinek nevezzük. Ugyanazon a módon amint az adott sorozatból képeztük az első különbségek sorát, ebből képezhetjük az adott sorozat második különbségeinek sorát:

D²y₀, D²y₁, D²y₂, ...

ahol általánosságban

D²y_k= D²y_k+1 - D²y_k, ...

A második különbségek tehát az első különbségek első különbségei. Hogy ha a számok adott sorozata végtelen sok tagból áll, ezzel az eljárással még végtelen sok új sort képezhetünk:

D³y₀, D³y₁, ...

D⁴y₀, D⁴y₁, ...

.......................

Dⁿy₀, Dⁿy₁, ...

melyekben általánosságban

Dⁿy_k= D^n-1y_k+1 - D^n-1y_k, ...

E sorok rendre tartalmazzák az adott sorozat 3-dik, 4-dik, ..., n-dik ... különbségeit. Hogy ha azonban az adott sorozat csak n+1 tagból áll, az első különbségek sora már csak n, a 2-dik különbségeké n-1 stb., és végre az n-dik különbségeké egyetlen egy tagból fog állani. Hogy ha az n-dik különbségek sorában az összes tagok egyenlők, minden az n-diknél magasabbrendü különbségek sora csupa o-ból fog állani. Ebben az esetben az adott sor tagjai n-edrendü számtani haladványt képeznek (l. Haladvány).

A K.-ben két alapvető feladattal találkozunk. Az egyik megköveteli, hogy az n-edrendü különbségeket az adott sor tagjai által fejezzük ki, a második pedig, hogy az adott sor tagjait a különbségekből állítsuk elő. E feladatok megoldását a következő képletek szolgáltatják:

[ÁBRA]

A K.-nek szerepe jut a differenciálszámolás némely fejezetében. Leggyakrabban interpoláció-képletek levezetésénél használják, hol az a feladat, egy racionális egész függvényt előállítani, melynek értéke a független változónak egy számtani haladványt képező x₀, x₀+h, x₀+2 h, ..., x₀+nh értékei mellett valamely f(x) függvény értékével megegyezik. Hogy ha az f(x) függvény folytonos és h-t elég kicsinynek választjuk, az igy megállapított egész függvény a független változónak más x0 és x0+nh közt fekvő értékei mellett is közelítő értékét fogja szolgáltatni az f(x) függvénynek.

Forrás: Pallas Nagylexikon