Kúpszelet

vagy kúpmetszet, legáltalánosabb értelemben véve bármely kúpfelületnek bármely metszése, de rendesen csak másodrendü kúpnak (egyenes v. ferde körkúpnak) valamely síkmetszését szokás K.-nek nevezni. A szerint, amint a másodrendü kúp középpontján keresztül, a metszősíkhoz párhuzamosan fektetett sík a kúpot nem metszi, egy alkotó hosszában érinti, vagy két egyenesben metszi, a K. lényegesen egymástól különböző alakot mutat és rendesen ellipszisnek, parabolának, illetőleg hiperbolának neveztetik. Az ellipszisnek minden pontja a végesben fekszik, a parabola egy irányban a végtelenbe nyulik a végesben fekvő aszimptota (l. o.) nélkül, mig a hiperbola két végtelenben fekvő ponttal és ezeknek megfelelőleg két aszimptotával bir. A K.-eknek e sztereometriai definicója alapján oly tulajdonságokat vezetünk le, melyek planimetriai definició alapjául szolgálhatnak. Ily definiciók pl. a következők:

1. Adva lévén F szilárd pont, f szilárd egyenes és e állandó számérték, azonkívül a P pont távolságát F-től, illetőleg f-től r-rel, illetőleg d-vel jelölvén: ama P pontok geometriai helye, melyekre nézve r/d=e kúpszelet, még pedig ellipszis, hiperbola vagy parabola, a szerint, amint e kisebb, nagyobb az egynél, vagy pedig egyenlő az egységgel. Az ellipszisnél és a hiperbolánál az F és f-en kivül találunk még egy másik F1 pontot és f₁ egyenest, amelyre nézve a hasonlóan definiált viszonyszám [ÁBRA] Az f₁ egyenes parallel az f-fel és mindkettő merőleges az F és F₁ pontok összekötő vonalára.

2. Adva lévén két pont, F és F₁, melyeknek egymástól való távolsága 2c, a P pontnak távolságát F-től, illetőleg F₁-től r-rel, illetőleg r₁-gyel jelölvén: ama P pontok geometriai helye, melyekre nézve az r és r₁ összege, illetőleg különbsége egyenlő valamely 2a állandóval - ellipszis, illetőleg hiperbola. Ellipszisnél a c, hiperbolánál a < c. Ha c = o, tehát F₁ az F-fel összeesik, akkor a K. kör, melynek középpontja f, sugara a.

3. Valamely adott F ponton keresztül menő és adott F₁ középpontból, 2a sugárral leirt szilárd kört érintő körök középpontjainak geometriai helye K., még pedig ellipszis vagy hiperbola, a szerint, amint F az adott szilárd kör kerületén belül vagy kivül fekszik. Ha a szilárd kör helyébe egyenest (végtelen nagy sugaru és a végtelenben fekvő F₁ középponttal biró kört) teszünk, akkor a definiált geometriai hely parabola.

F és F₁ gyujtópontja (gócpont, focus) - f és f₁ vezérfonala (directrix) - az FF₁ köz felező pontja M középpontja a K.-nek, e a numerikus, c a lineáris excentricitás, mig a gyujtóponton keresztülmenő, a vezérvonallal parallel húr 2p parameternek neveztetik. A parameter fele az ellipszisnél [ÁBRA], a hiperbolánál [ÁBRA] és a parabolánál egyenlő a gyujtópontnak a vezérvonaltól való távolságával. Az ellipszisnek és hiperbolának két-két gyujtópontja, hozzátartozó vezérvonala és egy középpontja van, a parabolának csak egy gyujtópontja és vezérvonala van, de nincs középpontja helyesebben: a parabolának második gyujtópontja, második vezérvonala és középpontja a végtelenben fekszik.

Parallel húrok felezési pontjai egy és ugyanazon egyenesen, ugynevezett átmérőn feküsznek. Az összes átmérők az ellipszisnél és a hiperbolánál a középponton mennek keresztül. A parabolánál az átmérők merőlegesek a vezérvonalra, tehát parallelek egymással. Átmérő hossza, vagy röviden csak átmérő alatt egyszersmind az átmérőn fekvő két K.-pont meghatározta vonaldarabot is értjük. A parabolánál minden átmérő végtelen hosszu.

A vezérvonalakkal parallel, illetőleg reájuk merőleges húrrendszert felező átmérő merőleges a megfelelő húrrendszerre és főtengelynek, vagy egyszerüen tengelynek neveztetik. Az ellipszisnek és hiperbolának tehát két egymásra merőleges, a parabolának csak egy főtengelye van. Minden főtengely szimmetriatengelye a K.-nek. A főtengelyekben fekvő K.-pontokat csúcspontoknak, a hozzátartozó és a főtengelyekre merőleges érintőket csúcsérintőknek nevezzük.

Az ellipszisnél a vezérvonalakra merőleges főtengely egyszersmind nagy tengelynek is neveztetik, hossza 2a; a vezérvonalakkal parallel főtengely kis tengely elnevezéssel is bir, hossza 2b. Az a, b és c között a b²=a²-c² összefüggés létezik. Az összes átmérők közt a nagy tengely a legnagyobb, a kis tengely a legkisebb.

A hiperbolánál a vezérvonalakra merőleges főtengely, melynek hossza 2a, valós tengelynek is neveztetik, ez az összes átmérők közül a legkisebb. A vezérvonalakkal parallel főtengely a hiperbolát nem metszi valós pontokban és ezért képzetes tengelynek is nevezik. A csúcsérintőnek a hiperbola két aszimptotája közt fekvő darabját 2b-vel jelölvén, az a, b és c között a b²=c²-a² összefüggés létezik. Ennek segítségével megszerkeszthetjük a hiperbola asszimptotáit, ha a gyujtópontok és a csúcspontok adva vannak. Ha b=a, akkor a két asszimptota egymásra merőleges és a hiperbolát egyenoldalunak nevezzük. - Kapcsolt (conjugált) átmérőpárok azok, amelyek közül mindegyik a másikhoz parallel húrrendszert felezi. L. még Másodrendü görbe.

Forrás: Pallas Nagylexikon