Kisszótár


Magyar Magyar Angol Angol
logaritmus log
logaritmus logarithm

Magyar Magyar Német Német
Logaritmus... ----

Címszavak véletlenül



Címszó:
Tartalom:

Logaritmus

(ma már nem használt neveken: arányszám, szorszám v. ízléstelen rövidítéssel logar). Valamely számnak (numerusnak) egy bizonyos alapra vonatkozó L.-a az a kitevő, melyre az alapot emelnünk kell, hogy hatványul az adott számot kapjuk. Valamely u szám a alapu L.-ának jele: alog. U (olv. a alapu logaritmus u). P.2log.8 = 3, mert 23 = 8. Megjegyzendő, hogy az a alap nem lehet egyenlő 1-gyel, mert az egységnek minden hatványa ismét 1, tehát nem lehet az egységtől különböző u-val egyenlő. Minthogy továbbá a számtanban tetszőleges valós kitevőre csak pozitiv alapot tudunk emelni (l. Hatványozás) és pozitiv alapnak bármely valós kitevőjű hatványa ismét pozitiv, azért a számtanban csak pozitiv számoknak pozitiv alapu L.-ai használtatnak. (Tetszőleges számok tetszőleges alapu L.-airól csak a függvénytanban lehet szó a kitevős függvény fogalmának legáltalánosabb megállapítása után.)

Az összes pozitiv számoknak egy bizonyos alapra vonatkozó L.-ai logaritmus-rendszert alkotnak. Elméleti vizsgálatoknál rendesen az ugynevezett Nepel-féle v. természetes (hiperbolikus) L.-ok rendszere használtatik, melyeknek alapszáma: e = lim (1 + 1/n)n  vagyis az a szám, melyhez (1 + 1/n)n minden határon tul közeledik, ha n helyébe rendre a természetes egész számokat helyettesítjük. Ezen alap értéke e = 2,718281828459...

A gyakorlati számításoknál viszont a Briggs-féle v. közönséges L.-ok rendszere használatos, melynek alapja megegyezik számrendszerünk alapszámával, t. i. 10. Minthogy az e alapu és 10 alapu L.-ok majdnem az egyedül használatosak, azért ezekre különös egyszerübb jelölések szokásosak, amennyiben elog. u helyett l.u-t (régebben log. nat. u) és 10log. u helyett az alapszám elhagyásával log. u-t szokás irni. Az egyik rendszerről a másikra való áttérés a log. u = Ml.u képlet segítségével történik, melyben az M modulus értéke:

M = 1/1.10 = 0.4342945...

A 10 alapu v. közönséges L.-oknak más rendszerekhez képest az a nagy előnyük van, hogy magán a számon rögtön felismerhető, hogy 10 alapu L.-a milyen két egész szám közé esik. Ugyanis e két szám közül a kisebbik, az ugynevezett karakterisztika csak attól függ, hogy az adott szám legbalra álló (s a zérustól különböző) jegye az egyesekhez képest hogyan van elhelyezve. Ha k hellyel az egyestől balra van, a karakterisztika k, ellenben ha k hellyel az egyesektől jobbra van, akkor a karakterisztika -k, végre ha éppen az egyesek helyén áll, akkor az o karakterisztika O P. log. 215, log. 0,0215, log. 2,15 karakterisztikai rendre 2, -2, 0. Viszont az a pozitiv tizedes tört, mely a karakterisztikákoz adva megadja a 10 alapu L.-t csak attól függ, hogy az adott szám milyen jegyekből áll, ellenben független a tizedes pont helyzetétől. E tizedes tört mantisszának neveztetik. P. log. 20 = 1,30103 karakterisztikája 1, mantisszája 0,30103.

A L.-ok nagy fontosságukat azon tulajdonságuknak köszönik, hogy két szám szorzatának L.-a egyenlő a tényezők L.-ainak összegével. Ha tehát a számok helyett L.-aikkal számolunk, akkor szorzás helyett csak összeadást kell végeznünk. Hasonló módon egyszerüsbödik az osztás, hatványozás és gyökvonás is a következő tételek alapján: Hányados L.-a egyenlő a számláló és nevező L.-ának különbségével; hatvány L. egyenlő az alap L.-ának s a kitevőnek szorzatával; gyök L.-a egyenlő az adott szám L.-ának s a gyökkitevőnek hányadosával.

A L.-okkal való számolásnál a L.-okat kész táblákból, ugynevezett L.-táblákból keressük ki. Régebben rendesen 7 jegyü táblák használtattak, azaz olyanok, melyekben a számok L.-ai 7 tizedesre foglaltatnak. Kitünő ilyen táblák a Schrön-félék, melyek magyar szöveggel is megjelentek (Stoczek Józseftől). Kevésbbé pontos számításoknál azonban ma már csak 4 jegyü L.-okat használunk. Ilyen táblák találhatók p. Fröhlich Matematikai repertorium c. művében. Ami az ily táblák készítését vagyis a L.-ok tényleges kiszámítását illeti, eredetileg a természetes L.-okat számítjuk ki, p. a következő rekurziv képlet segítségével:

[ÁBRA]

A közönséges L.-okat azután a modulussal való szorzás segítségével nyerjük.

A L.-ok feltalálása Neper és Briggs (l. o.) érdeme, bár mások, különösen Byrgi, tőlük függetlenül szintén használtak L.-okat. A L. fogalmának oly általánosítását, hogy a numerusnak ne kelljen éppen pozitiv számnak lennie, Euler vezette be a függvénytanba. Megjegyzendő még, hogy újabban oly táblákat is készítenek (összeadási és kivonási L.-ok v. Gauss-féle L.-ok), melyek segítségével két szám L.-ából összegüknek, illetve különbségüknek L.-ai könnyen számítható. E táblák ugy vannak készítve, hogy log. x-hez log. (1+x) és log. [ÁBRA] értékét adják meg.

Forrás: Pallas Nagylexikon



Maradjon online a Kislexikonnal Mobilon és Tableten is