Kisszótár


Magyar Magyar Angol Angol
Maximum és ... ----

Magyar Magyar Német Német
Maximum és ... ----

Címszavak véletlenül



Címszó:
Tartalom:

Maximum és minimum

Ha az x1, x2,...,xn valós változók f(x1,x2,...,xn) valós függvénye a változók valamely véges és folytonos tartományának minden belső és határhelyén folytonos, akkor Weierstrass egy tétele szerint e tartományban a függvénynek van egy legnagyobb és egy legkisebb értéke. Az elsőt a megadott tartományban a függvény legnagyobb értékének, vagy maximumának, a másodikat pedig a megadott tartományban a függvény legkisebb értékének, vagy minimumának nevezzük. Más értelemben használjuk azonban e szókat, midőn azt a kérdést vizsgáljuk, vajjon a valós x1, x2,...,xn változók valamely valós f(x1, x2,...,xn) függvénye mily módon változik, hogy ha a függvény értelmezési tartományában ennek egyik helyéről egy másik helyére folytonos úton megyünk át. E kérdés vizsgálata mutatja, hogy a függvény értelmezési tartományában lehetnek oly helyek, melyekhez bármely ugyane tartományba eső folytonos úton közeledve a függvény értéke vagy folytonosan növekedik, vagy pedig folytonosan fogy. Hogy ha (x1,x2,...,xn) volna az értelmezési tartomány egy ilyen helye, azt mondjuk, hogy az f(x1, x2,...,xn) függvény e (x1,x2,...,xn) helyen szélső értéket vesz fel. E szélső értéket az első esetben maximumnak, a második esetben pedig minimumnak nevezzük, mert az f(x1, x2,...,xn) függvény értéke a (x1,x2,...,xn) helyen nagyobb, ill. kisebb minden e hely környezetében levő helyhez tartozó függvényértéknél.

A M. problémája megköveteli, hogy a változók tartományának ama helyeit határozzuk meg, melyekben valamely megadott függvény szélső értéket vesz fel és eldöntsük, vajjon e szélső érték maximum-e, vagy minimum. Egy valós változó valamely valós differenciálható f(x) függvénye esetében e problema megoldása a következő módon teljesíthető: A változó amaz értékei, melyek mellett az f(x) függvény szélső értéket vesz fel, csakis a

[ÁBRA]

egyenlet valós gyökei közt foglalhatnak helyet. Hogy ha p. x ennek az egyenletnek egy valós gyöke, akkor annak eldöntése végett, vajjon f(x) a változó emez értéke mellett csakugyan szélső értéket vesz-e fel, meg kell vizsgálnunk f(x) második differenciálhányadosát is. A szerint, amint ez a változónak x értéke mellett pozitiv vagy negativ értéket vesz fel, f(x)-nek a x helyen minimuma ill. maximuma van; hogyha azonban f(x) második differenciálhányadosának értéke a x helyen 0 volna, a kérdés eldöntése végett a másodiknál magasabb differenciálhányadosokat is meg kell vizsgálnunk. Hogy ha f(x) differenciálhányadosai közt a k+1-ső az első, mely a x helyen a 0-tól különböző, akkor, ha k páros szám, f(x) ajel helyen szélső értéket egyáltalában nem vesz fel, hogy ha azonban k páratlan szám, f(x) a szerint, amint a k+1-ső differenciálhányados értéke a x helyen pozitiv vagy negativ, minimum vagy maximum értéket vesz fel. Mint látni, a M. problema megoldásának e módszere nemcsak az adott függvény differenciálhatóságát tételezi fel, hanem azt is, hogy e függvény második, sőt eges esetben magasabb differenciálhányadosai is létezzenek.

Hogy ha a M. problemáját valamely n független valós változótól függő valós f(x1, x2,...,xn) függvényére vonatkoztatólag akarjuk megoldani, akkor a változók tartományának ama helyeit, melyeken a függvény szélső értékeket vesz fel, csakis a

[ÁBRA]

egyenletrendszer gyökrendszereitől jellemzett helyek közt kereshetjük. Annak eldöntése végett, vajjon egy emez egyenletrendszer megoldásából származó (x1,x2,...,xn) helyen f(x1, x2,...,xn) valóban szélső értéket vesz-e fel, meg kell vizsgálnunk az a11u12+2a12u1u2+a22u22+...annun2 quadratikus alakot, melyben általánosságban aik azt az értéket jelenti, melyet d2f/dxidxk felvesz, hogy ha benne x1, x2,...,xn helyébe rendre a x1,x2,...,xn értékeket helyettesítjük. Hogy ha e quadratikus alak az u1,u2,...,un váűltozók minden értékrendszere mellett vagy csupán csak pozitiv, vagy csupán csak negativ értékeket vesz fel, f(x1, x2,...,xn)-nek a x1,x2,...,xn helyen a minimum ill. maximum értéke van, hogy ha pedig e quadriatikus alak más magatartásu, f(x1, x2,...,xn)-nek a x1,x2,...,xn helyen szélső értéke nincsen. Még bonyolultabbá válnék a vizsgálat, hogy ha az aik értékek mind 0-sal volnának egyenlők.Annak az esetnek a tárgyalására vonatkozólag, melyben az f(x1, x2,...,xn) függvény szélső értékeit kell meghatározni, hogyha az x1, x2,...,xn változók közt feltételi egyenletek állanak fenn, a differenciál-számolás kézikönyveire utalunk.

A M. problémáinak egy másik osztályába tartoznak azok a feladatok, melyekben függvényeket oly módon kell meghatároznunk, hogy maximum vagy minimum értéket vegyenek fel, adott egyszerü vagy többszörös határozott integrálok, melyekben az integrálandó függvény valamely a meghatározandó függvényeket és azok differenciálhányadosai tartalmazó kifejezés. Ily problemák megoldására szolgál a variáció-számolás (l. Infinitézimál számítás), melynek segítségével azokat a totális v. parciális differenciálegyenleteket vagy differenciálegyenlet-rendszereket képezhetjük, melyek integrációja a keresett függvényeket szolgáltatja.

A legelső maximum-problemával találkozunk Eukleides elemeiben, hol a VI. k. 27. tételében az x(x-a) függvény maximumáról van szó. Más M. problemákkal az ókorban még Archimedesnél és Apolloniusnál találkozunk. A differenciál- és integrál-számolás feltalálása előtti korszakban Fermat és Hudde találtak fel módszereket a M.-problemák megoldására.

Forrás: Pallas Nagylexikon



Maradjon online a Kislexikonnal Mobilon és Tableten is