Kisszótár


Magyar Magyar Angol Angol
Projektivit... ----

Magyar Magyar Német Német
Projektivit... ----

Címszavak véletlenül



Címszó:
Tartalom:

Projektivitás

v. projektiv rokonság, két első foku alapalakzatnál azoknak oly egymásra való vonatkoztatása, hogy az egyik bármely elemének a másikban egy és csak egy elem felel meg, még pedig oly módon, hogy az egyik alakzat bármely négy elemü csoportjának a másik alakzatban ugyanoly kettős viszonnyal biró csoport felel meg. Két n-ed foku (n = 2,3) alapalakzat akkor projektiv, ha az egyik bármely (n - 1)-ső foku alapalakzatának a másikban épp oly foku, vele projektiv alapalakzat fele meg. Ezen egymásnak megfelelő (n - 1)-ső foku alapalakzatok sorozóit egymásnak megfelelő elempároknak tekintve, az igy megállapított rokonság szintén P. Ily módon p. két pontsík P.ához kapunk egy hozzátartozó P.-t ugyanazon két sík sugarai között, v. két ponttér P.ához egy hozzátartozó P.-t a két tér síkjai között.

Két különnemü projektiv alapalakzatot perspektiv helyzetünek mondunk, ha megfelelő elemeik egymásban feküsznek. Két egynemü, de nem egymásban fekvő projektiv alapalakzatot pedig akkor mondunk perspektiv helyzetünek, ha létezik oly másnemü alapalakzat, mellyel mindkettő perspektiv helyzetü. Bármely két projektiv alapalakzathoz található az alapalakzatok oly sorozata, melyben két-két szomszédos tag perspektiv helyzetü és melyben az adott két alakzat kezdő- és végtag. Két első-, másod-, illetve harmadfoku alapalakzat P.-a teljesen meg van határozva, ha az egyik alakzatnak három, négy, illetve öt általános helyzetü eleméhez meg vannak adva a másik alakzatnak megfelelő elemei. Ekkor ugyanis minden további elemhez a neki megfelelő elem lineárisan megszerkeszthető.

Ha a két egymásra vonatkoztatott alakzatban a megfelelő elemek hasonnemüek, tehát pontnak pont, síknak sík, sugárnak sugár felel meg, akkor a P.-t kollineációnak (vagy homográfiának) nevezzük, ellenkező esetben reciprocitásnak. A következőkben az egynemü alakzatok P.-ára, vagyis a kollineációra szorítkozunk, különnemü alakzatok P.át.

Ha a két kollineár n-ed foku (n = 1, 2, 3) alapalakzat egyikének n + 2 általános helyzetü eleme rendre a másik alapalakzatban neki megfelelő elemmel összeesik, vagyis önmagának megfelelő, akkor a két alakzat azonos, vagyis minden elem összeesik a megfelelőjével. Ha ellenben csak n + 1 általános helyzetü elem felel meg önmagának, akkor az alakzatok közös sorozóval birnak és egyesített kollineár alakzatoknak neveztetnek.

Két egyesített projektiv első foku alapalakzatban mindig két (valós vagy képzetes) önmagának megfelelő, vagy dupla elem létezik. Ha egy megfelelő elempárt A, A"-val, a két dupla elemet G és H-val jelöljük, akkor a (G H A Á") = D kettős viszony állandó értékü és a P. karakterisztikájának neveztetik. Ha D = - 1, akkor a két alakzat involuciót alkot.

A másodfoku alapalakzatok közül p. két egyesített pontsík általában háromszöget képező három dupla ponttal bir. E háromszög oldalai dupla elemei ama P.-nak, melyet az adott P. a két egyesített síkrendszer sugarai között megállapít. Ha két egyesített kollineár síkrendszerben három egy s egyenesen fekvő dupla pont létezik, akkor s-nek minden pontja dupla pont. Azonkivül találunk még egy C pontot, mely minden rajta keresztül menő sugárral együtt önmagának felel meg. Ez esetben a két síkrendszert centrálisan kollineárnak mondjuk és s-et a kollineáció tengeélyének, C-t a kollineráció centrumának nevezzük.

Két kollineár térrendszerben általában tetraédert képező négy dupla pont van. E tetraéder oldallapjai és élei szintén önmaguknak felelnek meg, amennyiben a bennük fekvő megfelelő elempárok egyesített kollineár rendszereket képeznek, melyeknek dupla pontjai a tetraédernek ama síkban, illetve élben fekvő csúcspontjai. Ha két egyesített kollineár térrendszerben négy egy S síkban fekvő dupla pont létezik, akkor S-nek minden pontja dupla pont. Azonkivül találunk még egy C pontot, mely minden rajta keresztül menő síkkal és sugárral együtt önmagának felel meg. Ez esetben a két térrendszert centrálisan kollineárnak mondjuk; S a kollineáció síkja; C a kollineáció centruma. A centrálisan kollineár rendszereket is perspektiveknek szokták nevezni.

Ha két egyesített kollineár térrendszerben egy s1 egyenesnek három, tehát minden pontja, és ugyanezen egyenesnek három, tehát minden síkja önmagánal felel meg, akkor találunk még egy második s2 egyenest, mely az s1-et nem metszi és ugyanazon tulajdonságokkal bir, mint az s1. Ez esetben a kollineációt biaxiális kollineációnak (geschaarte Collineation) mondjuk; s1 és s2 a biaxiális kollineáció tengelyei. Ha két egyesített kollineár térrendszerben egy s egyenesnek három, tehát minden pontja összeesik a megfelelő pontjával, a nélkül azonban, hogy s síkjai közül is három, tehát minden síkja önmagának megfelelne, akkor találunk egy másik c egyenest, melynek három, tehát minden síkja összeesik a megfelelő síkjával, a nélkül azonban, hogy c pontjai közül is három, tehát mindegyik önmagának megfelelne. Ez esetben a kollineációt axiális kollineációnak mondjuk; s az axiális kollineáció tengelye és c annak centráléja.

Ha két projektiv pontsorban a végtelenben fekvő pontok egymásnak megfelelők, akkor a két pontsort hasonlóknak mondjuk. Ebben az esetben az egyik pontsor két tetszőleges A és B pontja által meghatározott AB vonaldarabnak és a megfelelő A"B" vonaldarabnak viszonya állandó. A pontsorok kongruensek, ha ez az állandó viszony az egységgel egyenlő. Ha két kollineár síkrendszerben a végtelenben fekvő egyenesek egymásnak megfelelők, a kollineációt affinitásnak nevezzük. Ebben az esetben parallel egyeneseknek parallel egyenesek felelnek meg és megfelelő területek viszonya állandó. Ha azonfelül bármely két megfelelő szög egymással egyenlő, akkor az affin síkrendszereket hasonlóknak mondjuk. Hasonló síkrendszerekben megfelelő vonaldarabok viszonya állandó; ha ezen állandó viszony értéke az egységgel egyenlő, akkor a síkrendszerek kongruensek. Ha két egyesített térrendszerben a végtelenben fekvő sík önmagának felel meg, akkor a kollineációt affinitásnak nevezzük. Ebben az esetben parallel egyeneseknek, illetve síkoknak megint parallel egyenesek, illetve síkok felelnek meg és megfelelő térfogatok viszonya állandó. Ha azonfelül bármely két megfelelő szög egymással egyenlő, akkor az affin rendszereket hasonlóknak mondjuk. Ha egyszersmind bármely két megfelelő vonaldarab is egyenlő, akkor a rendszerek vagy kongruensek, vagy szimmetrikusak.

Centrálisan kollineár síkrendszereket vagy térrendszereket centrálisan affineknek mondunk, ha a kollineáció centruma a végtelenben fekszik. Ha ellenben a kollineáció tengelye, illetve síkja fekszik a végtelenben, akkor a centrálisan kollineár rendszerek hasonlók és hasonló fekvésüek. A biaxiális és axiális kollineáció hasonló jellegü speciális esetekre vezetnek.

Másodrendü görbék és másodrendü felületek előállítását projektiv alapalakzatokból l. az illető címszók alatt.

Forrás: Pallas Nagylexikon

Kapcsolódás



Maradjon online a Kislexikonnal Mobilon és Tableten is