Szingularitás

(lat.) a geometriában. Ha valamely C sík- vagy térgörbe oly D ponttal bir, melyben minden a D-n keresztül menő egyenes a C-t általában k összeeső pontban metszi, akkor D a C-nek többszörös, még pedig k-szoros pontja. A k-szoros ponton a görbe k-szor, illetőleg a görbének k különböző ága (melyek közül páros számmal képzetesek is lehetnek) egyszerüen megy keresztül. Az egyes görbe-ágakhoz a D pontban vont érintők oly egyenesek, melyek a C-t általában k+1, a D-vel összeeső pontban metszik.

A k-szoros pont alakilag is egymástól különböző fajokra oszlik a szerint, amint a rajta keresztül menő görbe-ágakhoz a D-ben vont érintők közül többen egymással összeesnek v. pedig páro számmal képzetesek.

Ha k=2, akkor D kettőspont vagy duplapont. A kettőspont különböző fajai:

a) a közönséges duplapont vagy valós csomópont, ha a két érintő és velük a kettősponton keresztül menő két görbe-ág is valós és egymástól különböző;

b) az izolált duplapont, ha D maga valós ugyan, de a két érintő és velük a duplaponton keresztül menő két görbe-ág is képzetes;

c) a közönséges- vagy első faju csúcspont, cuspidális pont v. visszatérő pont, ha a két érintő összeesik. Ez utóbbi tulajdonképen már a visszatérő elemekhez tartozik.

Többszörös, még pedig k-szoros érintő, illetőleg érintő sík, oly egyenes, illetőleg sík, mely valamely görbét k, általában egymástól különböző helyen érint. Többszörös még pedig k-szoros simuló sík oly sík, mely valamely térgörbének k, általában egymástól különböző pontjában simuló síkja a görbének.

A Sz.-oknak egy másik faját képezik a visszatérő elemek, amelyeknek fogalmához a következő módon juthatunk.

Valamely S síkban fekvő t egyenesen a P pont mozog. E közben a t egyenes is mozog, még pedig ugy hogy mindig az S síkban a P körül bizonyos értelemben forog, mig az S sík maga is mindig a t körül forog. Ezen mozgás közben a P valamely térgörbe pontjait, t a hozzátartozó érintőket és S a hozzátartozó simuló síkokat irja le. Ha S, illetőleg P nem mozog, akkor a keletkező geometriai hely síkgörbe, illetőleg kúpfelület.

A szerint, amint az igy definiált mozgás közben vagy a P, vagy a t, vagy pedig az S az illető elemen megáll és mozgásának értelmét megváltoztatva visszatér, keletkezik a visszatérő, stacionárius vagy csúcspont, v. pedig a vissza térő, stacionárius vagy inflexiós érintő, illetőleg simuló sík.

Ezen Sz.-ok összetételéből a legkülönbözőbb összetett Sz.-ok keletkeznek.

Ha valamely F felület oly D ponttal bir, melyben minden a D-n keresztül menő egyenes az F-et általában k összeeső pontban metszi, akkor D az F-nek többszörös, még pedig k-szoros pontja. A D ponton keresztül egyszerüen végtelen sok oly egyenes húzható, mely a felületet általában k+1 a D-vel összeeső pontban metszi. Ezek az egyenesek a K, k-ad rendü kúpfelületet képezik, amelynek különböző fajai a k-szoros pontnak is különböző fajait állapítják meg.

Valamely a k-szoros ponton keresztül fektetett sík F-ből oly görbét metsz ki, melynek D k-szoros pontja.

Ha k=2, akkor D kettőspontja vagy duplapontja a felületnek, a D-hez tartozó K kúp másod rendü. - D biplanar kettőspont, ha a K kúp két síkká degenerál, ellenben uniplanar kettőspont, ha e két sík összeesik.

A közönséges és a biplanar kettősponton keresztül fektetett tetszőleges sík az F-ből oly görbét metsz ki, melynek D kettőspontja, míg az uniplanar kettőspont minden rajta keresztül menő sík metszésnek általában cuspidális pontja.

Valamely d görbe az F felületnek k-szoros görbéje, ha d-nek minden D pontja oly k-szoros pontja az F-nek, amelynél a hozzátartozó K kúp a D-ben a d-hez vont érintőn keresztül menő k síkból áll.

Ha k=2, akkor d duplagörbéje az F-nek, tehát minden pontja F-nek biplanar kettőspontja. Ha d minden pontja az F-nek uniplanar kettőspontja, akkor d-t cuspidális görbének nevezzük. Ilyen p. a síkba fejthető felület cuspidális görbéje.

A dualitás elve adja a megfelelő Sz.-okat; ilyen p. a szinguláris érintősík, mely valamely felületet egy k-ad rendü síkgörbének minden pontjában érinti.

Forrás: Pallas Nagylexikon