halmaz

A halmaz és elemei olyan fogalmak, amelyeket a matematikában rendszerint nem definiálunk, hanem alapfogalomként fogadunk el. Egy H halmaz elemei bármiféle a, b, c,... elvont dolgok (pl. számok, a sík pontjai) v. konkrét tárgyak, személyek stb. lehetnek. Megadhatunk egy halmazt az elemei felsorolásával; ilyenkor az elemeket gyakran kapcsos zárójelek közé írjuk (pl. {3; 5; 0}). Megadhatjuk egy tulajdonsággal is; pl. ezzel: négyzetszám. A négyzetszámok halmazának egyik szokásos jelölése: {x: x négyzetszám}. Ez a jelölés azt fejezi ki: azoknak az x-szel jelölt dolgoknak a halmaza, amelyekre igaz az, hogy "x négyzetszám". Ez olyan halmaz, amelynek minden eleme négyzetszám (másféle elem nincs benne), és amelyben minden négyzetszám benne van. Csak egy ilyen halmaz van, mert a halmazokat az elemeik egyértelműen meghatározzák: ha H₁, minden eleme H₂-nek is eleme és megfordítva is, akkor H₁-nek ugyanaz a halmaz, mint H₂, vagyis H₁ = H₂. Megadhatunk egy halmazt olyan tulajdonsággal is, amely semmire sem igaz (pl. 10 méternél magasabb ember v.: olyan négyzetszám, amelynek négy osztója van). Az ilyen halmaznak nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Szokásos jele: Q. Mivel a halmazokat az elemeik egyértelműen meghatározzák. csak egy üres halmaz van. PI. a 10 méternél magasabb emberek halmaza ugyanaz, mint azoknak a négyzetszámoknak a halmaza, amelyeknek négy osztója van. Egyik halmaznak sincs ugyanis olyan eleme, amely ne lenne a másiknak is eleme, hiszen egyáltalán nincs elemük. Ha egy G halmaznak minden eleme egy H halmaznak is eleme (vagyis nincs olyan elem, amely ne lenne H-nak eleme), akkor azt mondjuk, hogy G részhalmaza H-nak. Ezt így szokás jelölni: G H. Minden halmaz részhalmaza önmagának. Ha G H, de G nem ugyanaz a halmaz, mint H (G H), akkor azt mondjuk, hogy G valódi részhalmaza (röviden: valódi része) H-nak. Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, és minden nem üres halmaznak valódi része.

Szerkesztette: Lapoda Multimédia

Kapcsolódás

• definiál
• alapfogalom
• szám
• sík
• pont
• ember
• osztó